Neuer Preprint zur isogeometrischen Analysis von Eigenwertproblemen

27 Februar 2024

In einem neuen Preprint untersuchen wir die Lösung der Laplace-Eigenwertgleichung auf Kreissektoren mittels isogeometrischer Analysis. Anschaulich beschreibt das behandelte Problem die Schwingungen einer Membran, die über eine kreissektor-förmige Fläche gespannt wird. Die entsprechenden Eigenfunktionen besitzen charakteristische Eckensingularitäten, wodurch Standard-Simulationsmethoden suboptimale Ergebnisse produzieren.

Wir schlagen einen numerischen Algorithmus zur Auflösung dieser Singularitäten über ein abgestuftes Netzverfeinerungsschema für isogeometrische Analysis vor. Numerische Tests zeigen optimale Konvergenzraten für die Eigenwerte und Eigenfunktionen sowie eine überzeugende Approximationskonstante der glatten Splines. Darüber hinaus erweisen sich abgestufte Netze als besonders vorteilhaft für eine präzise Approximation sämtlicher niedriger Eigenfrequenzen in nur einer Simulation. Eine Schwierigkeit des angewandten Algorithmus liegt in der Singularität der isogeometrischen Parametrisierung, der Ansatz erweist sich dennoch als robust. Schließlich stellen wir noch eine hierarchische Netzstruktur vor, die einige nützliche Eigenschaften besitzt sowie zu leicht verbesserten Approximationsergebnissen führt.

Apel, T., Zilk, P.: Isogeometric analysis of the Laplace eigenvalue problem on circular sectors: Regularity properties, graded meshes & variational crimes, Preprint, submitted for publication, https://arxiv.org/abs/2402.16589