Forschung

Als inverses Problem bezeichnet man die Aufgabe, aus einer beobachtbaren oder erwünschten Wirkung auf die zugrunde liegende Ursache zu schließen.

 

Dahinter steht ein als bekannt vorausgesetztes (physikalisches) Gesetz, welches in Form einer mathematischen Funktion die Abbildung einer Ursache auf deren Wirkung beschreibt. Beispielsweise lässt sich bei bekannter Massenverteilung eines Körpers (Ursache) die bewirkte Gravitationskraft (Wirkung) ausrechnen. Ebenso lässt sich bei bekannter Gewebeverteilung eines Körpers (Ursache) der Intensitätsverlust (Wirkung) von Röntgenstrahlen berechnen, die den Körper durchdringen. Die Berechnung einer Wirkung bei bekannter Ursache bezeichnet man als direktes Problem, die Umkehrung hiervon ist ein inverses Problem.

 

Inverse Probleme treten als Steuerungsprobleme auf, wenn eine bestimmte Wirkung erwünscht ist und danach gefragt wird, wie sie zu erzielen sei. Sie treten als Identifikationsprobleme auf, wenn physikalische Größen nur indirekt über die von ihnen hervorgerufenen messbaren Wirkungen beobachtet werden können. Beispielsweise besteht ein Problem der inversen Gravimetrie darin, aus Satellitenmessungen des Schwerefelds der Erde auf die Massenverteilung im Erdinneren zu schließen. In der Computertomographie versucht man, aus der Messung der Intensitätsverluste von Röntgenstrahlen auf die Gewebeverteilung in einem Körperinneren zu schließen.

 

Identifikationsprobleme können schwierige mathematische Fragen aufwerfen. Zunächst muss geklärt werden, ob die Kenntnis einer Wirkung den eindeutigen Rückschluss auf eine Ursache überhaupt zulässt (Existenz einer Umkehrfunktion des direkten Problems). Weiterhin hängt die zu erschließende Ursache häufig extrem sensitiv von der -- in der Praxis niemals ganz exakt zu messenden -- Wirkung ab. Daraus resultiert eine große Unsicherheit in der Identifikation einer Ursache, die sich nur durch das geschickte Heranziehen von Zusatzinformationen verkleinern lässt (Regularisierung). Die numerische Lösung inverser Probleme führt auf Optimierungsaufgaben, deren Bewältigung durch hohe Dimension und das Vorhandensein vieler störender Suboptima erschwert wird.

Im Gegensatz zur klassischen Nichtlinearen Optimierung, bei der man sich mit der Berechnung lokaler Minimierer/Maximierer von Funktionen unter Nebenbedingungen begnügt, untersucht die Globale Optimierung entsprechende globale Minimierungs- und Maximierungsprobleme. Diese wesentlich komplexere Problemstellung erfordert die Verwendung mathematischer Teildisziplinen (wie die stochastische Analysis), die in der Nichtlinearen Optimierung nicht zur Anwendung kommen.

Die stochastische Analysis beschäftigt sich mit der Verallgemeinerung von Begriffsbildungen, Aussagen und Modellen der Analysis auf stochastische Prozesse. Im Zentrum der stochastischen Analysis stehen die Formulierung und die Untersuchung von stochastischen Integralen und, darauf aufbauend, von stochastischen (partiellen) Differentialgleichungen. Anwendungen  finden sich unter anderem in der Biologie, in der Physik und vor allem in den Ingenieurwissenschaften bei der Modellierung und Anwendung von Rauschprozessen.

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